数值分析第一次作业

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第一次作业

1、已知准确值 $x=2718281.828\cdots$, 则近似值: $x_1=2718283.25$ 有____位有效数字, $x=2718282.25$ 有____位有效数字;

解:

$x_1$ 有 $6$ 位有效数字, $x_1$ 绝对误差界为 $\dfrac{1}{2}\times 10^{-(-1)}$, $m=7$, 故为 $6$ 位有效数字.

$x_2$ 有 $7$ 位有效数字, $n=0,m=7$.

2、在浮点数系中求解方程 $x^2-16x+1=0$, 应如何计算, 才能获得较准确的根 $x_1,x_2$? 请写出计算式: 较大的正根 $x_1=\_\_\_\_$, 较小的正根 $x_2=\_\_\_\_$;

解:

$(x-8)^2=7\times 3^2\Rightarrow x_1=8+3\sqrt{7}=15.93725,x_2=\dfrac{1}{8+3\sqrt{7}}=0.06275$, 避免两个接近的数相减.

3、$e=2.718281828\cdots,e^{10}=22026.46579\cdots$, 它们在浮点数系 $F(10,8,-8,8)$ 中浮点化数 $fl(e)=\_\_\_\_$, $fl(e^{10})=\_\_\_\_$, 在浮点数系 $F(10,8,-8,8)$ 中计算 $fl(e)+fl(e^{10})=\_\_\_\_$;

解:

$fl(e)=+0.27182818\times 10^1,\ fl(e^{10})=+0.22026466\times 10^5$.

$fl(e)+fl(e^{10})=0.00002718\times 10^5+0.22026466\times 10^5=0.22029184\times 10^5$.

4、在浮点数系 $F(2,8,-7,8)$ 中，共有____个数 (包括 $0$), 实数 $3.625$ 和$59.6$
在该数系中的浮点化数 $fl(3.625)=\_\_\_\_$, $fl(59.6)=\_\_\_\_$, 在浮点数系 $F(2,8,-7,8)$ 中计算 $fl(3.625)+fl(59.6)=\_\_\_\_$.

解:

共有 $2\times 1\times 2^{8-1}\times (8-(-7)+1)+1=4097$, 注意 $+1$ 是 $0$.

$fl(3.625)=0.11101000\times 2^2,\ fl(59.6)=0.11101110\times 2^6$.

$fl(3.625)+fl(59.6)=0.00001111\times 2^6+0.11101110\times 2^6=0.11111101\times 2^6$.

习题 1.6 设 $|x|\ll 1$, 如何计算下列公式, 使得到的结果比较准确:

$$
\begin{array} {ll}
(1)\dfrac{1}{1+2x}-\dfrac{1-x}{1+x}; & (2)\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{x}};\
(3)\dfrac{1-\cos(2x)}{x}; & (4)\ln\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}.
\end{array}
$$

解:

(1) 通分 $\dfrac{2x^2}{1+3x+2x^2}$.
(2) 分子有理化 $\dfrac{2x^2}{\sqrt{x}(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}$.
(3) 三角转化 $\dfrac{2\sin^2 x}{x}$.
(4) $\ln\dfrac{|x|}{1+\sqrt{1-x^2}}$.

习题 1.8 化简或改写下列算式, 以减少运算次数:

(1) $(x-5)^4+9(x-5)^3+7(x-5)^2+6(x-5)+4$.
(2) $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}$.
(3) $\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{2\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{99\times 101}$.

解:

(1) $(((x-5+9)(x-5)+7)(x-5)+6)(x-5)+4$
(2) $\left(\left(\left(\left(\dfrac{x}{n}+1\right)\dfrac{x}{n-1}+1\right)\cdots\right)\dfrac{x}{2}+1\right)x+1$.
(3) $\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac 1 3 + \dfrac 1 2 - \dfrac 1 4 +\dfrac 1 3 - \dfrac 1 5 +\cdots + \dfrac {1}{98}-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\right)\\=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}\right)=\dfrac{14949}{20200}$.

习题 1.9 在计算机上怎样计算 $y=29^{71}/71!$, 才能避免溢出.

解:

考虑按照如下方式计算 $y=\dfrac{29}{71}\times\dfrac{29}{70}\times\dfrac{29}{69}\times \cdots\times\dfrac{29}{2}\times 29$.

更进一步的, 如果知道结果的量级, 可以设定一个界限, 当过大时除 $29$, 小的时候乘阶乘.

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